Mnoho studentů, kteří studují pokročilou matematiku na pokročilých kurzech, se asi divilo: kde jsou diferenciální rovnice (DE) používány v praxi? Tato otázka se zpravidla na přednáškách nebere v úvahu a učitelé okamžitě přistupují k řešení teorie řízení, aniž by studentům vysvětlili použití diferenciálních rovnic v reálném životě. Pokusíme se tuto mezeru zaplnit.
Začneme definováním diferenciální rovnice. Diferenční rovnice je tedy rovnice, která spojuje hodnotu derivační funkce s funkcí samotnou, hodnotami nezávislé proměnné a některými čísly (parametry).
Nejběžnější oblastí, ve které jsou diferenciální rovnice aplikovány, je matematický popis přírodních jevů. Používají se také při řešení problémů, kde je nemožné navázat přímý vztah mezi některými hodnotami, které popisují proces. Takové úkoly vyvstávají v biologii, fyzice a ekonomii.
V biologii:
Prvním podstatným matematickým modelem popisujícím biologické komunity byl Lotka-Volterra model. Popisuje populaci dvou vzájemně se ovlivňujících druhů. První z nich, zvaný predátoři, umírá podle zákona x '= –ax (a> 0) v nepřítomnosti druhého a druhá kořist, v případě neexistence predátorů, se násobí neomezeně v souladu s Malthusovým zákonem. Interakce těchto dvou druhů je modelována následovně. Oběti vymírají rychlostí rovnající se počtu setkání predátorů a obětí, u nichž se předpokládá, že v tomto modelu je úměrná počtu obou populací, tj. Rovná se dxy (d> 0). Proto y'= by - dxy. Predátoři se rozmnožují rychlostí úměrně počtu konzumovaných kořistí: x '= –ax + cxy (c> 0). Systém rovnic
x '= –ax + cxy, (1)
y '= - - dxy, (2)
popisovat takovou populaci, dravec je kořist a je volán Trays - Volterra systém (nebo model).
Ve fyzice:
Newtonův druhý zákon lze napsat ve formě diferenciální rovnice
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), kde m je hmotnost těla, x je jeho souřadnice, F (x, t) je síla působící na tělo s souřadnicí x v čase t. Jeho řešením je trajektorie těla působením uvedené síly.
